대단원 정리하기 · Ⅰ. 수와 연산

CONCEPT MAP · 개념 지도

대단원 한눈에 보기

소인수분해와 정수·유리수, 두 중단원이 어떻게 연결되어 있는지 시각적으로 살펴봅니다.

CORE CONCEPTS · 핵심 개념

두 중단원의 핵심 정의

자주 잊는 정의들을 한 자리에 모았습니다.

CHAPTER 1

소인수분해

소수 : 1보다 큰 자연수 중 약수가 정확히 2개인 수.예: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

합성수 : 1보다 큰 자연수 중 약수가 3개 이상인 수.예: 4, 6, 8, 9, 10, ...

1의 위치 : 1은 약수가 1개뿐 → 소수도 합성수도 아님.

거듭제곱 : 같은 수를 여러 번 곱한 것. 밑 $a$, 지수 $n$ → $a^n$.예: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$

소인수분해 : 자연수를 소수만의 곱으로 표현. 단 한 가지 방식뿐 (산술의 기본 정리).예: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$

최대공약수 GCD : 공약수 중 가장 큰 수.
최소공배수 LCM : 공배수 중 가장 작은 수.
서로소 : GCD가 1인 두 수.

CHAPTER 2

정수와 유리수

양수와 음수 : 0보다 큰 수 (+), 0보다 작은 수 (−). 0은 어느 쪽도 아님.

정수 : 자연수, 0, 음의 정수의 모임. (소수·분수 제외)예: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...

유리수 : 분자·분모가 정수이고 분모가 0이 아닌 $\dfrac{a}{b}$ 꼴.자연수 $\subset$ 정수 $\subset$ 유리수

절댓값 $|a|$ : 수직선 위 0에서 $a$까지의 거리. 항상 $|a| \ge 0$.$|-5| = |+5| = 5$, $|0| = 0$

대소 관계 : 수직선 위 오른쪽이 더 큰 수.
음수 < 0 < 양수.
음수끼리는 절댓값이 큰 쪽이 더 작다.

역수 : 곱이 1이 되는 두 수. 분수의 분자·분모를 바꿔 만들며 부호는 유지. 0의 역수는 없음.$\dfrac{2}{3}$의 역수: $\dfrac{3}{2}$

FORMULAS · 핵심 공식

반드시 외울 여섯 공식

실제 문제에서 가장 자주 적용되는 공식들.

FORMULA 01

약수의 개수

$N = p^a \times q^b$이면
약수 개수 $= (a+1)(b+1)$

소인수의 지수에 각각 1을 더한 값들의 곱.

$72 = 2^3 \times 3^2$ → $4 \times 3 = 12$개

FORMULA 02

GCD와 LCM

GCD : 공통 소인수의 최소 지수
LCM : 모든 소인수의 최대 지수

소인수분해 후 지수만 비교하면 됨.

36과 60 → GCD = 12, LCM = 180

FORMULA 03

GCD × LCM = 두 수의 곱

$a \times b = \text{GCD}(a,b) \times \text{LCM}(a,b)$

검산할 때 매우 유용. 둘 중 하나만 알면 나머지를 빠르게 구할 수 있음.

$36 \times 60 = 12 \times 180 = 2160$ ✓

FORMULA 04

덧셈 — 같은 부호

절댓값 더한 후
공통 부호 붙이기

$(+3) + (+5) = +8$, $(-3) + (-5) = -8$.

$(-7) + (-12) = -(7+12) = -19$

FORMULA 05

덧셈 — 다른 부호

절댓값의 차를 구하고
큰 절댓값의 부호

$(+7) + (-3) = +4$, $(-7) + (+3) = -4$.

$(+8) + (-15) = -(15-8) = -7$

FORMULA 06

곱셈·나눗셈 부호

같은 부호 → +
다른 부호 → −

덧셈과는 다른 규칙! 음수 짝수 개 → +, 음수 홀수 개 → −.

$(-2) \times (-3) \times (-1) = -6$ (음수 3개)

QUICK RULES · 계산 규칙

사칙연산 총정리

한 표로 정리한 부호 규칙.

연산	규칙	예시 / 설명
덧셈 — 같은 부호	절댓값 합 + 공통 부호	$(-3) + (-5) = -8$
덧셈 — 다른 부호	절댓값 차 + 큰 절댓값의 부호	$(+7) + (-3) = +4$
뺄셈	$a - b = a + (-b)$	빼는 수의 부호를 바꿔 더한다
곱셈 — 같은 부호	절댓값 곱 + (+)	$(-3) \times (-5) = +15$
곱셈 — 다른 부호	절댓값 곱 + (−)	$(-3) \times (+5) = -15$
나눗셈	$a \div b = a \times \dfrac{1}{b}$	역수를 곱한다 (부호 규칙 동일)
0과의 곱	항상 0	$a \times 0 = 0$
0으로 나눗셈	정의되지 않음	$a \div 0$ — 불가능
계산 순서	거듭제곱 → 괄호 → 곱·나눗 → 덧·뺄셈	왼쪽부터 차례로
음수 거듭제곱	짝수 지수 → +, 홀수 지수 → −	$(-2)^2 = +4$, $(-2)^3 = -8$

COMMON MISTAKES · 자주 헷갈리는 것

시험에 잘 나오는 함정

학생들이 가장 자주 틀리는 6가지 함정.

$-2^2$ vs $(-2)^2$

$-2^2 = +4$

$-2^2 = -4$ / $(-2)^2 = +4$

괄호가 없으면 지수가 먼저 작용한 뒤 음의 부호. $-2^2$는 "$-(2 \times 2) = -4$".

1은 소수가 아니다

"가장 작은 소수는 1"

"가장 작은 소수는 2"

소수는 약수가 정확히 2개여야 하는데 1의 약수는 자기 자신뿐(1개). 1은 소수도 합성수도 아님.

−3과 −8의 대소

$|-3| < |-8|$이니까 $-3 < -8$

$|-3| < |-8|$이지만 $-3 > -8$

음수에서는 절댓값이 큰 쪽이 더 작은 수. 수직선에서 더 왼쪽에 있기 때문.

소인수의 합 ≠ 지수 포함

120 = 2³×3×5 → 소인수합 = 2+2+2+3+5

120의 소인수 = {2, 3, 5} → 합 = 10

소인수는 분해에 등장한 소수의 종류. 같은 소수가 여러 번 나와도 한 번만 셈.

나눗셈에 교환법칙 없음

$8 \div 4 = 4 \div 8$

$8 \div 4 = 2$, $4 \div 8 = \dfrac{1}{2}$

교환·결합법칙은 덧셈과 곱셈에서만 성립. 뺄셈과 나눗셈은 순서가 바뀌면 결과가 달라짐.

음수 빼기

$5 - (-3) = 5 - 3 = 2$

$5 - (-3) = 5 + 3 = 8$

음수를 빼면 양수를 더한 것. 부호 두 개가 만나면 +로 바뀐다. ($--$ → $+$)

QUICK REFERENCE · 빠른 참조

한 줄 체크리스트

시험 직전에 빠르게 훑어볼 수 있는 핵심 사실들.

📌 외워 두면 좋은 것들

아래 사실 10가지를 즉답할 수 있다면 단원 완성!

PRIME

소수 = 약수 2개

SMALLEST

가장 작은 소수 = 2

EVEN PRIME

유일한 짝수 소수 = 2

DIVISORS

$N = p^a q^b$ → $(a+1)(b+1)$개

ABS · 0

$|a| \ge 0$, $|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$

RECIPROCAL

0의 역수 = 없음

ORDER

음수 < 0 < 양수

NEGATIVE ×

$(-)(-) = (+)$

POWER

$(-a)^{2n} > 0$, $(-a)^{2n+1} < 0$

PRODUCT

$ab = \text{GCD} \times \text{LCM}$

WHAT'S NEXT · 다음 대단원

다음은 문자와 식

수에서 문자로 — 미지수 $x$가 등장하는 본격 대수의 시작.

Ⅱ. 문자와 식 — Letters & Equations

이번 단원에서 배운 수의 사칙연산이 모든 식의 기초가 됩니다. 다음 단원에서는 같은 규칙을 미지수 $x$가 포함된 식에 그대로 적용하게 됩니다.

저울의 양변이 균형을 이루는 순간, $x$의 정체가 드러납니다 — 그것이 일차방정식의 본질이에요.

$3x + 5 = 14$

$2(x - 1) = x + 7$

$\dfrac{x}{3} + 2 = 5$

📚 준비 사항: 정수와 유리수의 사칙연산을 자유롭게 다룰 수 있어야 합니다. 위 정리하기로 부족함을 느꼈다면 2.3, 2.4를 다시 한 번 보세요.